NBA moderna (1976-2011): VARIABILE DIPENDENTE: numero di vittorie in stagione COVARIATE: tutte le altre (o uno specifico insieme di queste, in base all’obiettivo di analisi) Considerare solo le squadre che hanno giocato 82 partite (dataset$games==82)
In questo report, ci siamo concentrati sull’elaborazione di un modello lineare predittivo per determinare il numero di vittorie in funzione dei rimbalzi annuali effettuati dalle squadre nella NBA. Il modello si applica esclusivamente a squadre che hanno disputato almeno 82 partite per stagione, considerando un arco temporale che va dal 1976 al 2011.
L’approccio del modello lineare si basa sull’adozione di coefficienti accuratamente selezionati, mirati a massimizzare la significatività e l’aderenza alla nostra interpretazione dell’impatto di specifiche variabili sulle vittorie. Questi coefficienti sono stati scelti in modo da riflettere al meglio la nostra concezione di quali fattori influenzino maggiormente il successo delle squadre.
Ulteriori informazioni riguardanti l’esecuzione del programma e l’utilizzo della funzione predittiva sono fornite nei paragrafi successivi, dove viene anche descritto il processo di sviluppo e validazione del modello.
TODO: aggiungere descrizione per ogni grafico
filepath <- here("0_Materiale", "basketball_teams.txt")
dataset <- read.delim(filepath)
# str(dataset)
FIRST <- 1976 # primo anno del range da considerare per lo studio
LAST <- 2011 # ultimo anno del range da considerare per lo studio
df <- dataset [dataset$lgID=="NBA" & dataset$year >= FIRST & dataset$year <= LAST & dataset$games==82,]
df$reb <- df$o_reb + df$d_reb
# summary(df)
Nel nostro dataframe sono incluse variabili specifiche per analizzare in dettaglio il ruolo dei rimbalzi nel basket. Ecco una descrizione degli acronimi utilizzati:
Il test Anderson-Darling è un test statistico non parametrico,
utilizzato per verificare l’ipotesi che un campione di dati provenga da
una particolare distribuzione, in questo caso, la distribuzione normale.
È particolarmente sensibile alle deviazioni nella coda della
distribuzione.
- Range: 0 a \(+\infty\)
- Interpretazione: Valori più bassi indicano una
maggiore aderenza alla distribuzione normale. Si confronta il valore di
test con valori critici specifici per determinare se rifiutare l’ipotesi
di normalità.
ad.test(df$reb)
##
## Anderson-Darling normality test
##
## data: df$reb
## A = 3.6997, p-value = 3.1e-09
Con un livello di significatività (\(\alpha\)) di 0.01 e un p-value molto piccolo (3.1e-09) ottenuto dal test di normalità di Anderson-Darling per i dati della variabile df$reb, puoi concludere che hai sufficiente evidenza statistica per respingere lipotesi nulla che i dati seguono una distribuzione normale.Con il tuo livello di significatività del 0.01 e il p-value molto piccolo (3.1e-09), il p-value è inferiore al livello di significatività, quindi respingeresti lipotesi nulla. Questo suggerisce che i dati nella variabile df$reb non seguono una distribuzione normale al livello di significatività del 0.01. In termini più pratici, hai abbastanza evidenza statistica per concludere che la variabile df$reb non segue una distribuzione normale basandoti sui risultati del test di Anderson-Darling.
Il test Kolmogorov-Smirnov (K-S) è un metodo non parametrico
utilizzato per determinare se un campione di dati segue una specifica
distribuzione, in questo caso, la distribuzione normale. È ampiamente
impiegato per la sua generalità e la facilità di implementazione.
- Range: 0 a 1
- Interpretazione: Valori più bassi indicano una
maggiore somiglianza alla distribuzione normale. Un valore di test
significativamente grande porta al rifiuto dell’ipotesi di
normalità.
ks.test(df$reb, "pnorm")
##
## Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: df$reb
## D = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided
Il risultato che hai ottenuto riguarda il test di Kolmogorov-Smirnov a campione singolo sui dati contenuti nella variabile df$reb. Il test KS confronta la distribuzione empirica dei tuoi dati con una distribuzione teorica (spesso una distribuzione uniforme). In breve, il risultato suggerisce che i tuoi dati non seguono la distribuzione teorica presunta, e cè un elevata probabilità che la differenza osservata sia statisticamente significativa.
Il test Shapiro-Wilk è un metodo statistico non parametrico
utilizzato specificatamente per testare la normalità di un campione di
dati. È noto per la sua affidabilità e precisione, soprattutto in
campioni di dimensioni ridotte.
- Range: 0 a 1
- Interpretazione: Valori più vicini a 1 suggeriscono
una maggiore aderenza alla distribuzione normale. Valori
significativamente bassi indicano la deviazione dalla normalità.
ks.test(df$reb, "pnorm")
##
## Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: df$reb
## D = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided
In sintesi, il risultato del test di Shapiro-Francia indica che i tuoi dati nella variabile df$reb non seguono una distribuzione normale. Questo è supportato dal valore basso del p-value, il quale suggerisce che la differenza tra la distribuzione dei tuoi dati e una distribuzione normale è statisticamente significativa.
Dividiamo ora il nostro dataset in 2 parti, la parte train, ossia la parte che utilizzeremo per “addestrare” il nostro modello lineare, e la parte test, ossia una parte del dataset su cui testeremo il nostro modello lineare
sample <- sample(c(TRUE, FALSE), size = nrow(df), replace=TRUE, prob=c(0.7, 0.3))
train_df <- df[sample, ]
test_df <- df[!sample, ]
Abbiamo creato un modello lineare per esplorare come i rimbalzi influenzano le vittorie in NBA. L’idea è semplice: capire se squadre che rimbalzano meglio vincono di più. Il modello analizza diversi tipi di rimbalzi (offensivi, difensivi) e come questi si traducono in successo sul campo.
Le formule che usiamo si concentrano su diversi aspetti dei rimbalzi, come recuperare la palla dopo un tiro sbagliato o proteggere il canestro. Ogni formula ci dà un’idea di come le squadre gestiscono e sfruttano i rimbalzi durante le partite. L’obiettivo è vedere quale impatto hanno questi fattori sulle vittorie.
\(\text{Formula1} = \frac{\text{Rimbalzi
offensivi in attacco}}{\text{Tiri sbagliati su azione}}\)
Rappresenta la capacità della squadra di ripossesso della palla dopo un
tiro che non va a canestro e colpisce il tabellone.
\(\text{Formula2} = \frac{\text{Rimbalzi
difensivi in difesa presi}}{\text{Tiri sbagliati su azione degli
avversari}}\)
Rappresenta la capacità della squadra di impossessarsi della palla dopo
un tiro sbagliato della squadra avversaria che colpisce il tabellone,
che troviamo un buon stimatore della capacità di contropiede della
squadra.
\(\text{Formula3} = \frac{\text{Palle
riprese in attacco} + 1.5 \times \text{Palle riprese in
difesa}}{\text{Palle perse in attacco} + 2 \times \text{Rimbalzi subiti
in difesa}}\)
Rappresenta il rapporto tra le palle riprese nei rimbalzi (sia offensivi
che difensivi) rispetto alle palle perse nei rimbalzi (sia offensivi che
difensivi). I coefficienti sono stati scelti in base a ciò che riteniamo
più importante in una partita, ossia la difesa del proprio canestro.
\(\text{Formula4} = (\text{Palle riprese in
attacco - Palle perse in attacco}) + 1.5*(\text{Palle riprese in difesa
- Palle perse in difesa})\)
Cresce all’aumentare dei rimbalzi ottenuti e diminuisce all’aumentare
dei rimbalzi subiti, considerando anche un coefficiente che da
particolare importanza alla difesa.
\(\text{Formula5} =
\frac{(\frac{\text{Rimbalzi subiti in difesa}}{\text{Palle perse in
difesa}})}{(\frac{\text{Rimbalzi subiti in attacco}}{\text{Palle perse
in attacco}})}\)
Mostra quanto siano influenti i rimbalzi nel rapporto tra le palle perse
dalla squadra e le palle perse dagli avversari.
Legenda significato acronimi:
train_df$f1 <- (train_df$o_oreb)/(train_df$o_fga-train_df$o_fgm)
train_df$f2 <- (train_df$d_dreb)/(train_df$d_fga-train_df$d_fgm)
train_df$f3 <- (train_df$o_oreb + 1.5 * train_df$d_dreb)/(train_df$o_dreb + 2 * train_df$d_oreb)
train_df$f4 <- (train_df$o_oreb - train_df$o_dreb) + 1.5 * (train_df$d_dreb - train_df$d_oreb)
train_df$f5 <- (train_df$d_oreb / train_df$d_to) / (train_df$o_dreb / train_df$o_to)
train_lm <- lm(won ~ f1 + f2 + f3 + f4 + f5, data = train_df)
summary (train_lm)
##
## Call:
## lm(formula = won ~ f1 + f2 + f3 + f4 + f5, data = train_df)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -14.6953 -3.7306 0.1023 3.1621 18.1436
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 3.960e+02 2.091e+01 18.939 < 2e-16 ***
## f1 7.019e+01 1.229e+01 5.711 1.78e-08 ***
## f2 -6.636e+01 1.583e+01 -4.192 3.20e-05 ***
## f3 -2.665e+02 1.805e+01 -14.769 < 2e-16 ***
## f4 3.286e-02 4.719e-03 6.964 8.91e-12 ***
## f5 -1.764e+02 4.655e+00 -37.893 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.988 on 587 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8432, Adjusted R-squared: 0.8418
## F-statistic: 631.1 on 5 and 587 DF, p-value: < 2.2e-16
TODO: Aggiungere presentazione grafici
La normalizzazione dei dati è una pratica fondamentale nell’elaborazione di modelli statistici, specialmente nei modelli lineari. Questo processo è volto a standardizzare la scala delle variabili, rendendo più agevole il confronto tra di esse e migliorando l’efficienza dell’algoritmo di regressione. In particolare, la normalizzazione è cruciale quando le variabili hanno scale molto diverse, poiché ciò potrebbe influenzare negativamente la precisione del modello.
Nel codice R seguente, abbiamo normalizzato le variabili del nostro
dataframe ‘train_df’, utilizzando la funzione scale. Questo
assicura che ciascuna variabile contribuisca in modo equo al modello,
permettendo una più accurata interpretazione dei coefficienti della
regressione lineare.
train_df$f1_z <- scale(train_df$f1)
train_df$f2_z <- scale(train_df$f2)
train_df$f3_z <- scale(train_df$f3)
train_df$f4_z <- scale(train_df$f4)
train_df$f5_z <- scale(train_df$f5)
train_lm_z <- lm(won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z, data = train_df)
summary(train_lm_z)
##
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z, data = train_df)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -14.6953 -3.7306 0.1023 3.1621 18.1436
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 40.8954 0.2048 199.663 < 2e-16 ***
## f1_z 2.1910 0.3836 5.711 1.78e-08 ***
## f2_z -3.1818 0.7591 -4.192 3.20e-05 ***
## f3_z -17.5002 1.1849 -14.769 < 2e-16 ***
## f4_z 8.9864 1.2905 6.964 8.91e-12 ***
## f5_z -12.2402 0.3230 -37.893 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.988 on 587 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8432, Adjusted R-squared: 0.8418
## F-statistic: 631.1 on 5 and 587 DF, p-value: < 2.2e-16
Il processo di test di un modello lineare è cruciale per assicurare la sua affidabilità e accuratezza. Questa fase prevede la valutazione di vari aspetti del modello, come l’adattamento dei dati, la normalità dei residui, l’omoschedasticità e la multicollinearità. Ognuno di questi test fornisce un’indicazione su come il modello si adatta ai dati e su eventuali problemi che potrebbero influenzarne le prestazioni.
Per una comprensione immediata del modello, è utile visualizzare il
riepilogo tramite summary(train_lm_z). Questo fornisce
dettagli sui coefficienti, la significatività statistica e altre
metriche chiave.
summary (train_lm_z)
##
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z, data = train_df)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -14.6953 -3.7306 0.1023 3.1621 18.1436
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 40.8954 0.2048 199.663 < 2e-16 ***
## f1_z 2.1910 0.3836 5.711 1.78e-08 ***
## f2_z -3.1818 0.7591 -4.192 3.20e-05 ***
## f3_z -17.5002 1.1849 -14.769 < 2e-16 ***
## f4_z 8.9864 1.2905 6.964 8.91e-12 ***
## f5_z -12.2402 0.3230 -37.893 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.988 on 587 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8432, Adjusted R-squared: 0.8418
## F-statistic: 631.1 on 5 and 587 DF, p-value: < 2.2e-16
Il test R-quadrato misura la proporzione della varianza totale della
variabile dipendente che viene spiegata dal modello di regressione. Un
R-quadrato elevato indica che una grande parte della varianza nella
variabile dipendente può essere spiegata dalle variabili indipendenti
nel modello.
- Range: 0 a 1
- Interpretazione: 0 indica nessuna spiegazione della
varianza da parte del modello. 1 indica una spiegazione completa della
varianza da parte del modello.
summary_linModNormalized <- summary(train_lm_z)
r_squared <- summary_linModNormalized$r.squared
cat("R-squared:", r_squared, "\n")
## R-squared: 0.8431574
Il R-quadrato adattato modifica il R-quadrato per tenere conto del
numero di predittori nel modello. È più affidabile per i modelli con
molteplici variabili indipendenti, poiché penalizza la complessità
aggiuntiva, fornendo una misura più realistica della bontà di
adattamento.
- Range: Può essere negativo, ma generalmente 0 a
1
- Interpretazione: Valori più vicini a 1 indicano una
migliore spiegazione della varianza, considerando il numero di
predittori.
n <- length(df$o_oreb)
k <- length(train_lm_z$coefficients) - 1
adjusted_r_squared <- 1 - ((1 - r_squared) * (n - 1) / (n - k - 1))
cat("R-quadro adattato:", adjusted_r_squared, "\n")
## R-quadro adattato: 0.8422182
Il test di Shapiro-Wilk sui residui è utilizzato per valutare la
normalità dei residui in un modello di regressione lineare. La normalità
dei residui è un’assunzione critica in molti test statistici. Se i
residui non seguono una distribuzione normale, le inferenze sulle stime
dei parametri potrebbero essere invalide.
- Range: 0 a 1
- Interpretazione: Valori più vicini a 1 suggeriscono
una maggiore probabilità che i residui seguano una distribuzione
normale.
shapiro.test(residuals(train_lm_z))
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: residuals(train_lm_z)
## W = 0.99376, p-value = 0.01498
Il Breusch-Pagan test verifica l’assunzione di omoschedasticità
(varianza costante) dei residui in un modello di regressione. La
presenza di eteroschedasticità (varianza non costante) nei residui può
portare a stime inefficaci e test statistici non affidabili.
- Range: 0 a \(+\infty\)
- Interpretazione: Valori più alti indicano una
maggiore probabilità di eteroschedasticità. Si confronta il valore del
test con un valore critico (ad es., da una distribuzione chi-quadrato)
per determinare la significatività.
bptest(train_lm_z)
##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: train_lm_z
## BP = 13.894, df = 5, p-value = 0.0163
Il test di multicollinearità verifica se esiste una correlazione
elevata tra le variabili indipendenti in un modello di regressione
lineare. La multicollinearità può causare problemi nella stima dei
coefficienti del modello, rendendo difficili l’interpretazione e la
significatività statistica delle variabili indipendenti. Strumenti
comuni per rilevarla includono il fattore di inflazione della varianza
(VIF) e l’indice di tolleranza.
- Range del VIF: 1 a \(+\infty\)
- Interpretazione: 1 indica assenza di
multicollinearità. Valori superiori a 5 o 10 sono spesso considerati
indicatori di multicollinearità significativa.
car::vif(train_lm_z)
## f1_z f2_z f3_z f4_z f5_z
## 3.502303 13.712439 33.411243 39.628419 2.482961